1 研究背景

机器人的腕关节作为一种典型的多自由度关节，一直以来都是研究的热点。但是现有的腕关节结构都较复杂，制造安装困难，控制精度低，运动范围小。所以研究一种结构简单、精度高、力矩大、控制方便、运动范围大的机器人多自由度关节很有必要［1］。

笔者从空间中点的表示入手，应用立体几何的分析方法，将空间中的各点映射到β－γ平面上，提出了一种利用β－γ平面对点的位置进行定位，并进行路径规划的新方法，同时采用行波型超声电机直接驱动技术控制关节的运动，使机器人的应用领域向小型化、微型化方向拓展。

2 多自由度关节结构与特点

机器人多自由度关节结构如图1所示［2］，主要包括内半环、圆环、外半环。其中，内半环铰接于圆环的内侧，外半环铰接于圆环的外侧，内半环与圆环的两个连接点和外半环与圆环的两个连接点分别位于圆环体直径的两端，且两个连接点的连线相互垂直。

内半环与圆环的连接处安装有超声电机1，外半环与圆环的连接处安装有超声电机2。在多自由度关节中，内半环由超声电机1控制驱动，外半环由超声电机2控制驱动。

这一多自由度关节在使用时，上支杆与支架机械臂相连，下支杆与另一机械臂相连。这样当由两台超声电机协调控制时，下支杆与上支杆之间可实现多自由度运行。外半环上的A点可以O点为圆心做同心多自由度运动。其动作范围如图1（b）所示，其中阴影部分为关节运动的死区。采用超声电机驱动，可以实现自锁功能。

▲图1 多自由度关节示意图

3 路径规划

3.1 空间中点的表示

图2所示为B（xB，yB，zB）点是笛卡儿坐标中的一个点，点B到处笛卡儿坐标中心O点的距离为R。

在多自由度关节中，可以用一个点与初始位置的夹角γ和β来表示点的方向［3］。取圆环水平、半环竖直的状态为初始位置，即图3中所示的XOY平面和XOZ平面所在的位置，且两平面相互垂直。OB与XOY平面的夹角为γ，与XOZ平面的夹角为β，用这两个角度就可以表示B点的方向。规定：当竖直半环偏离初始位置向右运动时，β为正，反之为负。水平圆环绕其轴作顺时针转动时γ为负，反之为正。根据上述规定，将整个球体分成8个卦限［4］，如图4所示。

可以得到：

式中：φ（zB）为关于zB变量的阶梯函数。

sgn（yB）决定加或减π/2，φ（zB）决定是否加减。

关节球面上的每一个点都可以用唯一的β、γ角来表示，为了更具体地描述球面上各点在β、γ角下的位置，笔者在上位机上用计算机编程语言（VB）对式（1）、式（2）进行编程，通过下位机控制超声电机，从而驱动关节运动，实现了将球面上的各点映射到β-γ平面上，并进行路径规划的新方法。

关节球面β-γ平面映射图及其卦限间关系如图5所示。

图5中，每一个正方形为球面上每个卦限映射到β-γ平面后的分布情况。从上球面进入下球面，必须通过L或C点，而且要进入一个下球面卦限，必须通过一个特定的上球面卦限，具体对应如下：Ⅰ卦限→Ⅵ卦限，Ⅱ卦限→Ⅴ卦限，Ⅲ卦限→Ⅷ卦限，Ⅳ卦限→Ⅶ卦限。

3.2 点对点路径规划

图3中，A点为半环上的中心点，也就是初始位置，B点为目标位置，B′为B点映射在关节球面Ⅳ卦限上的目标点。从初始位置到指向目标位置的运动，就是从A点到B′点的运动。运动过程如下：首先圆环绕Y轴旋转γ角，A点到达A′点，X轴变为X′轴；然后半环绕X′轴旋转β角，A点到达B′点，即半环上中心点A指向目标位置B点。

球面上两点之间的路径有无数条［5］，笔者在路径规划中，采用半环与圆环按照一定的速度比ρ恒速旋转。

式中：vh为半环旋转速度；vc为圆环旋转速度；βe为β角的目标角度；β0为β角的起始角度；γe为γ角的目标角度；γ0为γ角的目标角度。

可见，β-γ平面中的路径是一条直线，可以直观地显示关节当前的卦限和位置，超声电机的运动方向和速度也一目了然。

3.3 任意路径规划

在点到点路径规划的基础上，可以对任意路径进行规划［6］。对特定路径根据关节的最小精确度进行插值，得到特定路径上的很多点，再按照点到点的路径方法驱动关节运动，最终关节将会近似地沿着特定路径运动。关节的精确度越高，实际路径就越拟合特定路径［7］，注意路径不能进入死区。